Av yrke var Asbjørn Stensaker pedagog. Han ble utdannet cand.philol i 1909 med hovedfag i historie. Stensaker jobbet både som adjunkt, lektor og rektor gjennom sin yrkeskarriere. Han ble valgt inn i bystyret i 1919, var varaordfører i 1932-1934 og ble valgt til ordfører i 1935. Vervet som ordfører hadde han i årene 1935 – 1942 samt i perioden 08.05.45 – 01.01.46. I årene 1935-1940 var Arthur Sundt (V) varaordfører.
Krigen
Om morgenen den 9. april ble ordfører Asbjørn Stensaker oppringt av den tyske generalmajor Tittel og informert om at tyskerne hadde overtatt byen. Ordføreren ble bedt om å overta den sivile administrasjonen. I et møte i formannskapet samme dag ble det vedtatt å overlate de daglige gjøremål til et kriseutvalg satt sammen av ordfører, varaordfører, finansrådmann og forretningsfører. Kriseutvalget overtok også i stor grad formannskapet og bystyrets funksjoner.
I løpet av sommeren og høsten 1940 skjer det store endringer i det politiske Norge. 25. september holder Terboven en tale der styringssystemet som skal virke resten av krigen blir skissert; konge og regjering avsettes, alle politiske parti unntatt NS blir oppløst. 21. desember kommer endringer i kommuneloven - ordfører og varaordfører skal oppnevnes av Innenriksdepartementet, medlemmer til byting skal oppnevnes av fylkesmann i samråd med NS utnevnte fylkesfører og ordføreren.
Fylkesmannen innstiller på at Asbjørn Stensaker, Arthur Sundt og Einar Olsen fortsetter i sine stillinger som henholdsvis ordfører, varaordfører og finansrådmann. Sundt nekter å fortsette, mens Stensaker og Olsen sier ja. Samtidig som Stensaker takker ja til å fortsette som ordfører, gir han fylkesmannen klar beskjed om sitt ideologiske syn; «For mitt eget vedkommende vil jeg også ha uttalt at jeg ikke kan gi noen aktiv tilslutning til NS` samfundssyn og derfor ser min oppgave begrenset til å utføre de saklige oppgaver som lovgivingen pålegger meg».
I den følgende tid var det Stensakers uttrykte mål å hindre NS-infiltrering av kommuneforvaltningen, noe som avstedkom en rekke konfrontasjoner med de nye autoriteter på både lokalt og sentralt plan. November 1941 søkte han om avskjed som ordfører, noe som ble kategorisk avslått. Først etter å ha holdt en tale, der han blant annet angrep nazistenes historieforfalskning, kom departementets avskjedsbrev 28. mars 1942.
Fra 28. mars 1942 til mai 1945 var det ikke folkevalgt ordfører i Bergen, men ordfører innsatt av okkupasjonsmakten.
Freden
9. mai 1945 overtok norske myndigheter igjen stats- og kommuneforvaltningen i Bergen og Asbjørn Stensaker blir på ny oppnevnt til ordfører i Bergen av fylkesmannen. Da han vendte tilbake til ordførerkontoret følte han spenningen - ville bergenserne reagere negativt på at han så lenge forsøkte å berge restene av norske selvstyre under krigen – eller ville de takke ham for det?
7. juni holdt bystyret sitt første møte etter okkupasjonsdagen. Før de gikk i gang med sakslisten, rettet varaordfører Arthur Sundt en takk til ordfører Asbjørn Stensaker og finansmann Einar Olsen;
-«Når jeg tar ordet som medlem av kriseutvalget, er det fordi jeg går ut fra sammen med hr. Mons Lid, som også er medlem av det, at vi mere enn nogen andre her i bystyret er blitt klar over den enorme arbeidsbyrde som blev påført finansrådmannen og ordføreren og den sterke fysiske og psykiske påkjenning de i alle disse uker har vært utsatt for stående i spissen for hele vår bys ansikt utad. Jeg finner ikke ved en anledning som denne, hr ordfører, grunn til å utpensle dette i detaljer. Jeg finner bare grunn til på bystyrets vegne å takke ordføreren og finansrådmannen for det arbeid de har utført i denne tid, og for det lykkelige grep man har hatt på problemene. Jeg vil be bystyrets representanter ved å reise sig å takke disse to for det arbeid som er gjort i denne tid.».
Stensaker opplevde i årene etter frigjøringen kritikk for å ha fortsatt som ordfører etter 9. april og særlig etter at nyoppnevningen i desember 1940. I boken «Det hendte i Bergen» leverte han en begrunnelse for sin holdning, der han bl.a. påpekte at alternativet var en fullstendig tysk overtakelse av byens styre.